Cho a,b >0 tm 4a^2+b^2+ab=1
Tìm min của P=\(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1\right)\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^2:\left[\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\right]\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
11 tháng 8 2016
Đặt \(x=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}=x^2-2\)
Xét mẫu thức : \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)=x^2-x-2=\left(x+1\right)\left(x-2\right)\)
Thay \(x=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\) được mẫu thức : \(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1\right)\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\right)=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1\right).\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\)
Ta có : \(P=\frac{\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1\right)\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^2}{\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)}=\frac{\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1\right).\frac{\left(a-b\right)^2}{a^2b^2}}{\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1\right).\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}}\)
\(=\frac{\left(a-b\right)^2}{a^2b^2}.\frac{ab}{\left(a-b\right)^2}=\frac{1}{ab}\) (đpcm)
b) Áp dụng bđt Cauchy :
\(1=4a+b+\sqrt{ab}\ge2\sqrt{4a.b}+\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow5\sqrt{ab}\le1\Rightarrow ab\le\frac{1}{25}\)
\(\Rightarrow P=\frac{1}{ab}\ge25\) . Dấu "=" xảy ra khi \(\begin{cases}4a+b+\sqrt{ab}=1\\4a=b\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}a=\frac{1}{10}\\b=\frac{2}{5}\end{cases}\)
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 25 tại \(\left(a;b\right)=\left(\frac{1}{10};\frac{2}{5}\right)\)
11 tháng 8 2016
pn ơi , bđt cauchy : \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
s lại là \(2\sqrt{4a.b}+\sqrt{ab}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
2 tháng 3 2017
Bài 3)
BĐT cần chứng minh tương đương với:
\(\left ( \frac{a}{a+b} \right )^2+\left ( \frac{b}{b+c} \right )^2+\left ( \frac{c}{c+a} \right )^2\geq \frac{1}{2}\left ( 3-\frac{a}{a+b}-\frac{b}{b+c}-\frac{c}{c+a} \right )\)
Để cho gọn, đặt \((x,y,z)=\left (\frac{b}{a},\frac{c}{b},\frac{a}{c}\right)\) \(\Rightarrow xyz=1\).
BĐT được viết lại như sau:
\(A=2\left [ \frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}+\frac{1}{(z+1)^2} \right ]+\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\geq 3\) \((\star)\)
Ta nhớ đến hai bổ đề khá quen thuộc sau:
Bổ đề 1: Với \(a,b>0\) thì \(\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{1}{(b+1)^2}\geq \frac{1}{ab+1}\)
Cách CM rất đơn giản, Cauchy - Schwarz:
\((a+1)^2\leq (a+b)(a+\frac{1}{b})\Rightarrow \frac{1}{(a+1)^2}\geq \frac{b}{(a+b)(ab+1)}\)
Tương tự với biểu thức còn lại và cộng vào thu được đpcm
Bổ đề 2: Với \(x,y>0,xy\geq 1\) thì \(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}\geq \frac{2}{xy+1}\)
Cách CM: Quy đồng ta có đpcm.
Do tính hoán vị nên không mất tổng quát giả sử \(z=\min (x,y,z)\)
\(\Rightarrow xy\geq 1\). Áp dụng hai bổ đề trên:
\(A\geq 2\left [ \frac{1}{xy+1}+\frac{1}{(z+1)^2} \right ]+\frac{2}{\sqrt{xy}+1}+\frac{1}{z+1}=2\left [ \frac{z}{z+1}+\frac{1}{(z+1)^2} \right ]+\frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{z}+1}+\frac{1}{z+1}\)
\(\Leftrightarrow A\geq \frac{2(z^2+z+1)}{(z+1)^2}+\frac{1}{z+1}+2-\frac{2}{\sqrt{z}+1}\geq 3\)
\(\Leftrightarrow 2\left [ \frac{z^2+z+1}{(z+1)^2}-\frac{3}{4} \right ]+\frac{1}{z+1}-\frac{1}{2}-\left ( \frac{2}{\sqrt{z}+1}-1 \right )\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{(z-1)^2}{2(z+1)^2}-\frac{z-1}{2(z+1)}+\frac{z-1}{(\sqrt{z}+1)^2}\geq 0\Leftrightarrow (z-1)\left [ \frac{1}{(\sqrt{z}+1)^2}-\frac{1}{(z+1)^2} \right ]\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{\sqrt{z}(\sqrt{z}-1)^2(\sqrt{z}+1)(z+\sqrt{z}+2)}{(\sqrt{z}+1)^2(z+1)^2}\geq 0\) ( luôn đúng với mọi \(z>0\) )
Do đó \((\star)\) được cm. Bài toán hoàn tất.
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\)
P/s: Nghỉ tuyển lâu rồi giờ mới gặp mấy bài BĐT phải động não. Khuya rồi nên xin phép làm bài 3 trước. Hai bài kia xin khiếu. Nếu làm đc chắc tối mai sẽ post.
2 tháng 3 2017
Bài 1:
Cho \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\). Khi đó \(M=\sqrt{3}-2\)
Ta sẽ chứng minh nó là giá trị nhỏ nhất
Thật vậy, đặt c là giá trị nhỏ nhất của a,b,c. Khi đó, ta cần chứng minh
\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}-\frac{2(a^2+b^2+c^2)}{\sqrt{ab+ac+bc}}\geq(\sqrt3-2)\sqrt{ab+ac+bc}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{ab+ac+bc}\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}-\sqrt{3(ab+ac+bc)}\right)\geq2(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}-a-b+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}-\frac{b^2}{a}-c+a+b+c-\sqrt{3(ab+ac+bc)}\geq\)
\(\geq2((a-b)^2+(c-a)(c-b))\)
\(\Leftrightarrow(a-b)^2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-2\right)+(c-a)(c-b)\left(\frac{1}{a}+\frac{b}{ac}-2\right)+a+b+c-\sqrt{3(ab+ac+bc)}\geq0\)
Đúng bởi \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-2>0;\frac{1}{a}+\frac{b}{ac}-2\geq\frac{1}{a}+\frac{1}{a}-2>0\) và
\(a+b+c-\sqrt{3(ab+ac+bc)}=\frac{(a-b)^2+(c-a)(c-b)}{a+b+c+\sqrt{3(ab+ac+bc)}}\geq0\)
BĐT đã được c/m. Vậy \(M_{Min}=\sqrt{3}-2\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
P/s: Nhìn qua thấy ngon mà làm mới thấy thật sự là "choáng"
9 tháng 4 2018
a, Áp dụng \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
Áp dụng \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\forall x,y>0\)
Ta có: \(A=\left(1+\frac{1}{a}\right)^2+\left(1+\frac{1}{b}\right)^2\ge\frac{\left(2+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2}{2}\ge\frac{\left(2+\frac{4}{a+b}\right)^2}{2}\ge\frac{\left(2+4\right)^2}{2}=18\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
b, Áp dụng \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
Áp dụng \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\forall x,y,z>0\)
Ta có: \(B=\left(1+\frac{1}{a}\right)^2+\left(1+\frac{1}{b}\right)^2+\left(1+\frac{1}{c}\right)^2\ge\frac{\left(3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{3}\ge\frac{\left(3+\frac{9}{a+b+c}\right)^2}{3}\ge\frac{\left(3+6\right)^2}{3}=27\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
* Các BĐT phụ bạn tự CM nha! Chúc bạn học tốt
10 tháng 2 2019
\(P=\frac{\frac{a^2+b^2+ab}{ab}.\frac{a^2-2ab+b^2}{a^2b^2}}{\frac{a^4+b^4-a^3b-ab^3}{a^2b^2}}\)
\(=\frac{\frac{a^4-2a^3b+a^2b^2+a^2b^2-2ab^3+b^4+a^3b-2a^2b^2+ab^3}{a^3b^3}}{\frac{a^4+b^4-a^3b-ab^3}{a^2b^2}}\)
\(=\frac{a^4+b^4-a^3b-ab^3}{a^3b^3}:\frac{a^4+b^4-a^3b-ab^3}{a^2b^2}=\frac{1}{ab}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 8 2020
\(P=\frac{\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1\right)\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^2}{\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)^2-\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)-2}=\frac{\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1\right)\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^2}{\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1\right)\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\right)}\)
\(=\frac{\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^2}{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2}=\frac{\left(\frac{a-b}{ab}\right)^2}{\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}}=\frac{\left(a-b\right)^2}{a^2b^2.\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}}=\frac{1}{ab}\)
\(1=\sqrt{ab}+4a+b\ge\sqrt{ab}+2\sqrt{4ab}=5\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow\sqrt{ab}\le\frac{1}{5}\Rightarrow ab\le\frac{1}{25}\Rightarrow\frac{1}{ab}\ge25\)
\(\Rightarrow P_{min}=25\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{1}{10}\\b=\frac{2}{5}\end{matrix}\right.\)
